Означення 1. Множина [math] V [/math] елементів (далі, векторів) називається векторним ( або лінійним) простором над полем[math]K[/math], якщо в [math] V [/math] означено бінарну операцію [math]V \times V \to V [/math], яку позначають як додавання, ( a_{1}, a_{2}) \mapsto a_{1} + a_{2}[/math], і зовнішню бінарну операцію [math]K \times V \to V [/math], яку позначають як множення:[math](\lambda, a) \mapsto \lambda a [/math], причому ці операції задовільняють слідуючим аксіомам:
1. Відносно операції додавання множина [math] V [/math] утворює комутативну групу. Нейтральний елемент цієї групи називають нуль-вектором і позначають 0.
2. Множення векторів на елементи поля [math]K[/math] унітарне, тобто [math]1a = a[/math] для всіх [math]a[/math], і асоціативне, тобто [math] \alpha (\beta a) = (\alpha \beta) a [/math] для всіх [math]\alpha[/math], [math]\beta \in K, \enspace a \in V[/math].
3. Операції додавання і множення пов'язані з законами дистрибутивності:[display] \lambda (a + b) = \lambda a + \lambda b, \enspace (\lambda + \mu)a = \lambda a + \mu a,[/display] для всіх [math]\lambda, \mu \in K; \enspace a,b \in V[/math].
Умови 1 - 3 називають аксіомами векторного простору.
Якщо [math] K [/math] - поле [math] R [/math] всіх дійсних чисел, то простір називають дійсним векторним простором; якщо
простір розглядається над полем [math] C [/math] всіх комплексних чисел, то його називають комплексним векторним простором.
Наслідки з аксіом векторного простору.
1. Нульовий вектор лінійного простору єдиний.
2. Для кожного вектора лінійного простору існує єдиний протилежний вектор.
3. Добуток будь-якого вектора на нуль-скаляр є нуль-вектор.
4. Добуток нуль-вектора на будь-який скаляр є нуль-вектор.
5. [math]-a = (-1)a[/math] для будь-якого [math]a \in V[/math].
6. Якщо [math]\lambda a = 0[/math], то або [math]\lambda = 0[/math], або [math]a = 0[/math].
Приклади векторних просторів:
1. Множина всіх упорядкованних сукупностей дійсних чисел довжини [math]n[/math] утворює дійсний лінійний простір, який позначають [math]R^{n}[/math] і називають простором рядків (або стовпців). Операції додавання і множення на скаляри елементів цього простору визначені в \S 1.
2. Множина всіх матриць одного розміру, елементи яких належать полю [math] K [/math], утворює лінійний простір [math] M( K )[/math] над полем [math] K[/math] відносно операції додаваня матриць і множення матриці на скаляр, означенних в \S 1.
3. Множина [math] R_{n}[x][/math] всіх многочленів степеня не вище [math]n[/math] з дійсними коефіцієнтами є дійсним лінійним простором з відомими діями додавання многочленів і множення на скаляри.
4. Множина всіх комплексних чисел [math] C [/math] відносно операції додавання комплексних чисел й операції множення комплексних чисел на дійсні числа є дійсний векторний простір.
5. Множина всіх комплексних чисел [math] C [/math] відносно означених в ньому операцій додавання і множення є комплексний
векторний простір.
Означення 2. Система векторів [math]a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{m}[/math] називається лінійно незалежною, якщо рівність[math]\lambda_{1}a_{1} + \lambda_{2}a_{2} +...+ \lambda_{m}a_{m} = 0[/math] можлива лише при всіх [math]\lambda_{i} = 0 \enspace (i = 1, 2, \ldots , m)[/math], тобто лише тривіальна лінійна комбінація цих векторів дорівнює нуль-вектору. Якщо існує
нетривіальна лінійна комбінація (тобто, не всі [math]\lambda_{i}[/math] одночасно дорівнюють нулю) векторів [math]a_{i}[/math], яка дорівнює нуль-вектору, то система векторів називається лінійно залежною.
Твердження 3. Усяка система векторів, що містить нуль-вектор, або два однакових вектора, є лінійно залежною.
Означення 4. Сукупність векторів [math]\{ a_{i}\}_{1}^{n}[/math] простору [math]V[/math] називають базисом простору [math]V[/math], якщо кожний вектор [math]x[/math] простору [math]V[/math] однозначно зображається лінійною комбінацією векторів [math]\{ a_{i}\}_{1}^{n}[/math], тобто [math]x = x_{1}a_{1} + x_{2}a_{2} + ... + x_{n}a_{n}[/math]. Таке зображення називають розкладом вектора[math]x[/math] за базисом [math]\{ a_{i}\}_{1}^{n}[/math]. Скаляри [math]x_{i}[/math] лінійної комбінації називають координатами вектора [math]x[/math] відносно базису [math]\{ a_{i}\}_{1}^ {n}[/math].
Однозначність розкладу нуль-вектора вказує на важливу властивість базису, а саме: елементи базиса складають лінійно незалежну сукупність векторів.
Означення 5. Лінійною оболонкою сукупності векторів називатимемо множину всіх можливих лінійних комбінацій векторів сукупності.
Означення 6. Лінійний простір [math]V[/math] називається [math]n[/math]-вимірним, якщо кількість елементів базиса дорівнює [math]n[/math]. При цьому, число [math]n[/math] називають розмірністю простору і позначають [math]dim V[/math]. Взагалі, якщо
число [math]n[/math]скінчене, то простір [math]V[/math] називають скінченновимірним простором.
Теорема 7. У скінченновимірному просторі кількість елементів базиса не залежить від вибору базису.
Нехай в просторі розмірності [math]n[/math] вибрані два базиси [math]\{ e_{i}\}_{1}^{n}[/math] й [math]\{e'_{j}\}_{1}^{n}[/math]. Тоді існують розклади:[display] e'_{i} = \tau_{1i}e_{1} + \tau_{2i}e_{2} + \cdots + \tau_{ni}e_{n} = \sum_{k=1}^{n} [/display]
Матриця [math]T = (\tau_{ij})[/math] називається матрицею переходу від базису [math]\{ e_{i}\}_{1}^{n}[/math] до базису [math]\{e_{j}^{'}\}_{1}^{n}[/math].
Координати вектора [math]x[/math] відносно базису [math]\{ e_{i}\}_{1}^{n}[/math] та базису [math]\{e'_{j}\}_{1}^{n}[/math] пов'язані матрицею переходу так:[display]\pmatrix{ x_{1} \\ x_{2} \\ \ldots \\ x_{n} \enspace} = \enspace \pmatrix{\tau_{11} & \tau_{12} & \ldots & \tau_{1n} \\
\tau_{21} & \tau_{22} & \ldots & \tau_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\tau_{n1} & \tau_{n2} & \ldots & \tau_{nn} \\}
\pmatrix{x'_{1} \\ x'_{2} \\ \ldots \\ x'_{n}}[/display]