Означення 1. Відображення одного векторного простору в другий називається лінійним, якщо воно зберігає операції, тобто
образ суми двох векторів є сума образів і образ добутку скаляра на вектор є добуток цього скаляра на образ вектора.
Зауважимо, що образ нуль-вектора при лінійному відображенні є нуль-вектор.
Відображення називають нульовим і позначають [math]\cal O[/math], якщо образ усякого вектора є нуль-вектор.
Відображення простору [math]V[/math] в себе називають тотожним (одиничним) і позначають [math]\cal E[/math] або [math]id_{V}[/math], якщо образ усякого вектора сбігається з ним самим.
Відображення [math] f : V \to V[/math] називають гомотетією, якщо[math] f(x) = a x[/math] для всіх [math]x \in V[/math] , де [math]a[/math] - скаляр.
Позначимо через [math]\cal L(V,W)[/math] множину всіх лінійних відображень із простору [math]V[/math] в простір [math]W[/math]
над одним полем [math]K[/math].
Для [math] f, g \in \cal L(V,W) [/math] позначимо [math]f + g[/math] та [math] \alpha f [/math] ([math] \alpha \in K [/math]) так:
[display] (f + g)(x) = f(x) + g(x), \enspace (\alpha f)(x) = \alpha f(x) [/display]
Твердження 2. Нехай [math]f,g \in \cal L(V,W)[/math]. Тоді [math]f + g[/math] та [math]\alpha f[/math] - лінійні відображення.
Наслідок 3. Множина [math]\cal L(V, W)[/math] утворює лінійний простір над полем [math]P[/math].
Означення 4. Простори [math]V[/math] і [math]W[/math] називають ізоморфними і позначають [math]V \simeq W[/math], якщо між ними існує ізоморфізм, тобто бієктивне лінійне відображення.
Теорема 5. [math]V \simeq W \Longleftrightarrow dim V = dim W[/math].
Означення 6. Ядром лінійного відображення називають сукупність векторів, що відображаються в нуль-вектор. Ядро відображення [math]f[/math] позначають [math]Ker f[/math].
Означення 7. Образом лінійного відображення [math]f : V \to W[/math] називають сукупність векторів [math]y \in W[/math], які є образами будь-яких векторів з простору [math]V[/math]. Образ відображення [math]f[/math] позначають через [math]Im f[/math].
Твердження 8. Ядро лінійного відображення [math]f : V \to W[/math] є підпростір простору [math]V[/math], а образ [math]Im f[/math] є підпростір простору [math]W[/math].
Нехай [math]f : V \to W[/math] - лінійне відображення, [math]dim V = n, \enspace dim W = m[/math]. В просторі [math]V[/math] виберемо деякий базис [math]\{e_{i}\}_{1}^{n}[/math]. Тоді для будь-якого вектора [math]x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + \cdots + x_{n}e_{n}[/math] одержимо:[display] f(x) = f(\sum_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}) = \sum_{i=1}^{n} x_{i}f(e_{i}).[/display]
Таким чином, лінійне відображення [math]f[/math] повністю визначено образами базисних векторів простору [math]V[/math].
Зрозуміло, що вектори [math]f(e_{i})[/math] розкладаються за деяким базисом [math]\{u_{k}\}_{1}^{m}[/math] простору [math]W[/math], причому цей розклад єдиний і залежить від вибору базису в просторі [math]W[/math]. Нехай [display] f(e_{i}) = \sum_{k=1}^{m} a_{ki}u_{k}, \enspace i = 1, \ldots, n.[/display]
Матриця [math]A = (a_{ki})[/math] розміру [math](m,n)[/math] називається матрицею відображення [math]n[/math]-вимірного
лінійного простору в [math]m[/math]-вимірний лінійний простір відносно вибраних базисів.
Стовпці матриці відображення утворені з координат образів базисних векторів.
Координати образа y вектора [math]x[/math] знаходяться за допомогою матриці відображення. A саме, [math]y_{k} = \sum_{i=1}^{n} a_{ki}x_{i}[/math], або [display]\pmatrix {y_{1} \\ y_{2} \\ \ldots \\ y_{m}
\enspace} = \enspace
\pmatrix {a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\}
\pmatrix{x_{1} \\ x_{2} \\ \ldots \\ x_{n}}[/display]
Якщо матрицю лінійного відображення [math]f[/math] позначити через [math]A_{f}[/math], то [math]A_{\alpha f} = \alpha
A_{f}[/math], де [math]\alpha [/math]- число. Крім того, для будь-яких відображень [math]f,g \in \cal L (V,W)[/math] виконується:
[math]A_{f + g} = A_{f} + A_{g}[/math]. Отже, між простором лінійних відображень і простором матриць відповідного розміру існує ізоморфізм.
Покажемо зв'язок між матрицями лінійного відображення [math]f[/math] в різних базисах. Нехай в просторах [math]V[/math] і [math]W[/math] базиси [math]\{e_{i}\}[/math] і [math]\{u_{i}\}[/math] замінено на базиси [math]\{e'_{i}\}[/math] і [math]\{u'_{i}\}[/math]. Відповідно цим замінам, матриці переходу позначимо через [math]T [/math] і [math]C[/math], стовпці з координат векторів [math]x[/math] і [math]y = f(x)[/math] в нештрихованих базисах позначимо через [math]X[/math] і [math]Y[/math], в штрихованих - [math]X'[/math] і [math]Y'[/math]. Матриці відображення [math]f[/math] в штрихованих і нештрихованих базисах позначимо [math]A'_{f}[/math] і [math]A_{f}[/math], відповідно. Тоді [display] A'_{f}X'= Y' = C^{-1}Y = C^{-1}A_{f}X = C^{-1}A_{f}TX'.[/display] Отже,[display] A'_{f} = C^{-1}A_{f}T. [/display]
Теорема 9. Нехай [math]V[/math] - скінченновимірний лінійний простір, [math]f : V \to W[/math] - лінійне відображення. Тоді
[display] dim \enspace Ker f + dim \enspace Im f = dim V.[/display]
Означення 10. Лінійні відображення простору в себе називаються лінійними операторами.
Лінійному оператору відповідає квадратна матриця відносно деякого базису. Якщо в просторі [math]V[/math] перейти від базису
[math]\{e_{i}\}[/math] до базису [math]\{e'_{i}\}[/math] за допомогою матриці переходу[math]S[/math] , то матриця [math]A'[/math] оператора [math]f : V \to V[/math] в базисі [math]\{e'_{i}\}[/math] пов'язана з матрицею [math]A[/math] цього оператора в базисі[math]\{e_{i}\}[/math] так: [math]A' = S^{-1}A S[/math] .
Означення 11. Матриця [math] B [/math] називається подібною матриці [math] A [/math] , якщо існує така неособлива матриця
[math] S [/math] , що [math]B = S^{-1}A S[/math] .
Відношення подібності є відношенням еквівалентності.
Твердження 12. Визначники подібних матриць збігаються.
Таким чином, визначник матриці лінійного оператора не залежить від вибору базису. Отже, існує поняття визначника лінійного
оператора.
Означення 13. Нехай [math]\lambda [/math] - деяка змінна. Матриця [math]\lambda E - A[/math] називається характеристичною матрицею матриці [math]A[/math] . Многочлен [math]det (\lambda E - A)[/math] відносно [math]\lambda[/math] називається характеристичним многочленом матриці [math]A[/math] . Рівняння [math]det (\lambda E - A) = 0[/math] називається характеристичним рівнянням матриці [math]A[/math] , а корені цього рівняння називаються характеристичними коренями цієї матриці.
Твердження 14. Характеристичні многочлени подібних матриць однакові.
Отже, характеристичний многочлен матриці лінійного оператора не залежить від вибору базису і тому називається характеристим многочленом оператора.
Наслідок 15. Подібні матриці мають однакові сліди.
Як бачимо, крім визначника оператора, існує ще одна величина, яка не змінюється при зміні базису простору, в якому діє оператор. Таким чином, слід матриці оператора назвемо слідом оператора і позначимо [math] tr f[/math] .
Визначник і слід оператора називають інваріантами оператора.
Теорема 16. (Гамільтона - Келі). Усяка матриця є коренем свого характеристичного многочлена.