Означення 1. Підпростір [math] W[/math] векторного простору [math]V[/math] називається інваріантним відносно оператора [math]f : V \to V[/math] , якщо [math]f(x) \in W[/math] для будь-якого вектора [math]x \in W[/math] .
Нехай [math]f : V \to V, \enspace dim V = n, \enspace W[/math] - інваріантний підпростір простору [math]V[/math] відносно [math]f[/math] і [math]dim W = m[/math] . Якщо у підпросторі [math]W[/math] вибрати базис, а потім доповнити його до базису [math]\cal B[/math] всього простору [math]V[/math] , то матриця оператора [math]f[/math] відносно базису [math]\cal B[/math] буде мати вигляд : [math]\pmatrix{ A & B \\ 0 & C}[/math] , де [math]A[/math] - квадратна матриця порядку [math]m[/math] .
Якщо простір розкладено у пряму суму двох або більше інваріантних підпросторів, то існує базис, в якому матриця лінійного оператора є блочно-діагональною.
Нехай у векторному просторі діє лінійний оператор [math]f[/math]. Фіксуємо деякий вектор [math] x_{0}[/math] і розглянемо сукупність векторів [math] x_{0}, f(x_{0}), \ldots , f^{m-1}(x_{0}), \ldots , [/math] із якої залишимо максимальну кількість перших лінійно незалежних векторів.
Будемо вважати, що кількість таких векторів [math]m[/math]. Лінійна оболонка [math] Z [/math] векторів [math] x_{0}, f(x_{0}), \ldots , f^{m-1}(x_{0}) [/math] є інваріантний підпростір.
Далі, якщо [math] Y [/math] - деякий інваріантний підпростір, який містить вектор [math] x_{0}[/math] , то, відповідно означенню, він містить і вектори [math]f(x_{0}),\ldots , f^{m-1}(x_{0})[/math] , так що [math]Y \supset Z[/math] .
Таким чином, [math]Z[/math] - мінімальний інваріантний підпростір, який містить вектор [math]x_{0}[/math]. Побудованний простір [math]Z[/math] називають циклічним підпростором породженим вектором [math] x_{0}[/math].