Означення 1. Ненульовий вектор [math] x [/math] простору [math] V [/math] називається власним вектором лінійного оператора [math] f : V \to V [/math], якщо [math] f(x) = \lambda x [/math], де [math] \lambda [/math] - число, яке називають власним числом оператора.
Твердження 2. Множина всіх власних векторів оператора [math]f : V \to V [/math] відносно власного числа [math] \lambda [/math] утворює інваріантний підпростір простору [math] V [/math] відносно цього оператора.
Теорема 3. Власні числа оператора являються коренями характеристичного рівняння цього оператора.
Теорема 4. Власні вектори, які належать до різних власних чисел, лінійно незалежні.
Теорема 5. Для того, щоб матриця лінійного оператора у данному базисі була діагональною, необхідно і достатньо, щоб вектори базиса були власними векторами оператора.
Теорема 6. Для того, щоб існував базис, в якому матриця оператора була діагональною, необхідно і достатньо, щоб розмірності підпросторів власних векторів дорівнювали кратностям відповідних власних чисел як коренів характеристичного многочлена.
Означення 7. Вектор [math] v \in V [/math] називається кореневим оператора [math] f : V \ to V [/math], якщо для деякого числа
[math] \lambda [/math] виконується рівність [math] (f - \lambda \cal E)^{m} v = 0 [/math] (найменший показник [math] m [/math] називається висотою кореневого вектора).
Число [math] \lambda [/math] в означенні кореневого вектора є власним числом.
Власний вектор - це кореневий вектор висоти 1.
Твердження 8. Множина кореневих векторів оператора [math] f [/math] , які відповідають одному власному числу, утворює інваріантний підпростір відносно оператора [math] f [/math].
Підпростір кореневих векторів називають кореневим підпростором.
Теорема 9. Векторний простір над полем комплексних чисел, розкладується у пряму суму кореневих підпросторів.