Канонічна форма Жордана

Означення 1.  Лінійний оператор [math]g[/math] називається нільпотентним, якщо деяка його степінь збігається з нульовим оператором.

Нільпотентний оператор має єдине власне число нуль.

Усі вектори простору, в якому діє нільпотентний оператор [math] g [/math], є кореневими векторами оператора [math] g [/math].

Твердення 2. Нехай [math]Q_{i}[/math] - підпростір кореневих векторів нільпотентного оператора [math]g[/math], висоти яких не перевищують [math]i[/math], тобто [math]Q_{i} = Ker(g^{i}), \enspace Q_{m} = V[/math]. Якщо вектори [math]v_{1}, \ldots , v_{k}[/math] належать підпростору [math]Q_{j}\enspace (j > 2)[/math] та лінійно незалежні відносно [math]Q_{j-1}[/math], то вектори[math]g(v_{1}), \ldots , g(v_{k})[/math] належать [math]Q_{j-1}[/math] і лінійно незалежні відносно [math]Q_{j-2}[/math].

Побудуємо базис простору [math]V[/math] , в якому діє нільпотентний оператор [math]g[/math] , слідуючим чином.

Нехай [math]v_{11}, \ldots , v_{1k_{1}}[/math] - базис підпростору [math]Q_{m}[/math] відносно [math]Q_{m-1}[/math]. Тоді
вектори [math]g(v_{11}), \ldots , g(v_{1k_{1}})[/math] належать [math]Q_{m-1}[/math] і лі\-ній\-но не\-за\-леж\-ні від\-нос\-но
[math]Q_{m-2}[/math]. Сукупність векторів [math]g(v_{11}), \ldots , g(v_{1k_{1}})[/math] доповнимо до базиса підпростору
[math]Q_{m-1}[/math] відносно [math]Q_{m-2}[/math] векторами [math]v_{21}, \ldots , v_{2k_{2}}[/math]. Тоді [math]g^{2}(v_{11}),\ldots , g^{2}(v_{1k_{1}}), g(v_{21}), \ldots , g(v_{2k_{2}})[/math] належать підпростору [math]Q_{m-2}[/math] і лінійно незалежні відносно [math]Q_{m-3}[/math]. Доповнимо вектори до базису простору [math]Q_{m-2}[/math] відносно [math]Q_{m-3}[/math]. Продовжуючи цей процес до побудови базису простору [math]Q_{1}[/math], одержимо слідуючу таблицю векторів: [display] Q_{m}: & v_{11},& \ldots , & v_{1k_{1}} & & & & \\
Q_{m-1}:& g(v_{11}),& \ldots , & g(v_{1k_{1}}),& v_{21},&
\ldots ,& v_{2k_{2}} & \\
Q_{m-2}: &g^{2}(v_{11}),& \ldots , & g^{2}(v_{1k_{1}}),&
g(v_{21}), & \ldots ,& g(v_{2k_{2}}),& \ldots \\
& \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \\
Q_{2}:& g^{m-2}(v_{11}),& \ldots ,& g^{m-2}(v_{1k_{1}}),&
g^{m-3}(v_{21}),& \ldots , & g^{m-3}(v_{2k_{2}}),& \ldots \\
Q_{1}:& g^{m-1}(v_{11}),& \ldots ,& g^{m-1}(v_{1k_{1}}),&
g^{m-2}(v_{21}),& \ldots , & g^{m-2}(v_{2k_{2}}),& \ldots \\
[/display]

Розглянемо побудовану таблицю для кожного фіксованого вектора [math]v^{*}[/math] таблиці як сукупність ланцюгів з векторів
[math]v^{*}, g(v^{*}), \ldots , g^{s-1}(v^{*})[/math], де [math]g^{s}(v^{*}) = 0[/math]. Кожен такий ланцюг утворює циклічний підпростір.

Твердження 3. Простір, в якому діє нільпотентний оператор, розкладається у пряму суму циклічних підпросторів.

Матриця оператора [math]g[/math] в циклічному просторі має вигляд:
[display]\pmatrix{
0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\}
[/display] і називається нільпотентним жордановим блоком.

Кожному циклічному підпростору буде відповідати нільпотентний жордановий блок, порядок якого дорівнює довжині відповідного ланцюга. Тому матриця нільпотентного оператора [math]g[/math] в просторі [math]V[/math] буде блочно-діагональною, з нільпотентними жордановими блоками на діагоналі. Кількість блоків дорівнює кількості лінійно незалежних власних векторів нільпотентного оператора. Вектори таблиці утворюють базис, який називають  канонічним базисом простору [math]V[/math] відносно оператора [math]g[/math].

Нехай у векторному просторі [math]V[/math] над полем комплексних чисел діє лінійний оператор [math]f[/math]. Виберемо базис простору [math]V[/math] як сукупність базисів кореневих підпросторів відносно оператора [math]f[/math]. Тоді матриця оператора у такому базисі матиме блочно-діагональний вигляд. Діагональні блоки є матриці оператора в кореневих підпросторах. Розглянемо кореневий підпростір з власним числом [math]\lambda [/math]. Нехай [math]m[/math] - кратність числа [math]\lambda [/math] як кореня характеристичного многочлена. Тоді оператор [math](f - \lambda
E)^{m}[/math] анулює усі вектори кореневого підпростору, тобто оператор [math] g = f - \lambda E[/math] нільпотентний. Тепер
виберемо у кореневому підпросторі канонічний базис для оператора [math]g[/math]. Матриця оператора g буде блочно-діагональною з нільпотентними жордановими блоками на діагоналі. У цьому ж базисі оператору [math]f = g + \lambda E[/math] відповідає матриця, яка відрізняється від матриці оператора [math]g[/math] тим, що на головній діагоналі замість нуля буде [math]\lambda[/math]. Окремий жордановий блок має вигляд :[display]\pmatrix{
\lambda & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
1 & \lambda & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
0 & 0 & \ldots & 1 & \lambda \\}
[/display]

Якщо у кожному кореневому підпросторі вибрати канонічний базис, то сукупність усіх канонічних базисів буде загальним канонічним базисом простору [math]V[/math] відносно оператора [math]f[/math]. У такому загальному канонічному базисі матриця оператора [math]f[/math] представляє канонічну форму Жордана.