Означення 1. Скалярним добутком двох векторів [math]x, y[/math]дійсного лінійного простору [math]V[/math] називається функція від [math]x, y[/math] з значеннями в полі дійсних чисел, яка позначається [math](x, y)[/math]і задовільняє вимогам:
1. лінійності по першому аргументу, тобто [math](\alpha_{1}x_{1} +\alpha_{2}x_{2}, y) = \alpha_{1}(x_{1}, y) + \alpha_{2}(x_{2}, y); \enspace \alpha_{1}, \alpha_{2} \in R; x_{1}, x_{2}, y \in V[/math];
2. симетрії, тобто [math](x, y) = (y, x)[/math];
3. додатньої означенності, тобто [math](x, x) > 0[/math], при [math]x \not =0[/math].
З вимог 1) та 2) слідує лінійність по другому аргументу.
Скалярний добуток [math](x, x)[/math]називають скалярним квадратом вектора.
Означення 2. Дійсний скінченновимірний векторний простір з означеним в ньому скалярним добутком називається евклідовим простором.
Приклад. У просторі рядків [math]R^{n}[/math] для будь-яких векторів скалярний добуток означимо як суму добутків відповідних координат.
Означення 3. Довжиною вектора називають число [math]\mid x \mid =\sqrt{x,x}[/math].
Твердження 4. Для будь-яких векторів [math]x[/math] та [math]y[/math] евклідового простору виконується нерівність [display](x, y)^{2} < (x, x)(y, y).[/display]
Твердження 5. Довжина суми будь-яких двох векторів не більша за суму довжини доданків (знак рівності виконується тоді і лише тоді, коли вектори пропорційні).
Означення 6. Вектори називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Твердження 7. Якщо вектори оргогональні, то квадрат довжини їх суми дорівнює сумі квадратів їх довжин.
Означення 8. Система ненульових векторів називається ортогональною, якщо вони попарно ортогональні.
Твердження 9. Кожна ортогональна система векторів лінійно незалежна.
Теорема 10. З лінійно незалежної системи векторів можна побудувати ортогональну систему.
Означення 11. Вектор називається нормованим, якщо його довжина дорчвнює 1.
Означення 12. Базис евклідового простору називається ортонормованим, якщо вектори базису нормовані і попарно ортогональні.
В кожному евклідовому просторі існує ортонормований базис.
Нехай [math]a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}[/math] - деякий базис евклідового простору. Тоді [display] (x, y) = (\sum_{i=1}^{n} x_{i}a_{i}, \sum_{k=1}^{n} y_{k}a_{k}) = \sum_{i,k=1}^{n} x_{i}y_{k}(a_{i}, a_{k}) = \sum_{i,k=1}^{n} g_{ik} x_{i} y_{k} ,
[/display] де [math] g_{ik} = (a_{i}, a_{k})[/math].
Матриця [math](g_{ik})[/math] називається матрицею Грама (для системи векторів [math]a_{1}, \ldots , a_{n}[/math]). Матриця Грама симетрична.
В ортонормованму базисі матриця Грама є одиничною, а скалярний добуток дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів.
Теорема 13. Визначник матриці Грама для деякої системи векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори лінійно залежні. Визначник Грама для лінійно незалежних векторів додатний.
Означення 14. Скалярним добутком [math](x, y)[/math] двох векторів [math]x, y[/math] комплексного лінійного простору [math]V[/math] називається функція від [math]x, y[/math], яка приймає комплексні значення і задовільняє вимогам:
1. лінійності по першому аргументу;
2. спряженої симетрії, тобто [math](x, y) = \overline{(y, x)}[/math];
3. додатньої означенності, тобто [math](x, x) > 0[/math], при [math]x \not =0[/math].
З вимог 1) та 2) слідує інволюційна лінійність по другому аргументу, тобто [display] (x, \beta_{1}y_{1} + \beta_{2}y_{2}) =
\overline{\beta_{1}}(x, y_{1}) + \overline{\beta_{2}}(x,y_{2}),[/display] де [math]\beta_{1},\beta_{2}\in C; \enspace x, y_{1}, y_{2} \in V[/math].
Означення 15. Скінченновимірний комплексний простір з означеним в ньому скалярним добутком називається унітарним простором.