Означення 1. Лінійний оператор [math] \varphi [/math] називається унітарним, якщо він для кожної пари векторів унітарного простору зберігає скалярний добуток, тобто [math] (\varphi(x), \varphi(y)) = (x, y)[/math]. Оператори евклідового простору з такою властивістю називаються ортогональними.
Ортогональний оператор зберігає довжину вектора.
Для унітарного оператора [math]\varphi[/math] має місце рівність: [math]\varphi^{-1} = \varphi^{*}[/math].
Теорема 2. Унітарний оператор переводить ортонормований базис в ортонормований базис. Навпаки, якщо лінійний оператор
переводить ортонормований базис в ортонормований базис, то це унітарний оператор.
Матриця [math]A[/math] унітарного оператора в ортонормованому базисі є ортогональною, тобто її стовпці нормовані і попарно
ортогональні (теж саме, що [math]\overline{A^{T}} = A^{-1}[/math]).
Визначник ортогональної матриці дорівнює 1 або -1.
Добуток двох унітарних (ортогональних) операторів є унітарним (ортогональним) оператором.
Оператор, який є оберненим до унітарного (ортогонального) оператора, є унітарним (ортогональним) оператором.
Власні числа унітарного оператора за модулем дорівнюють 1.
Означення 3. Існує ортонормований базис, в якому матриця ортогонального оператора має блочно-діагональний вид, причому ці блоки є числа 1, -1, або матриці другого порядку виду:[display]\pmatrix{
cos \varphi & -sin \varphi \\
sin \varphi & cos \varphi \\}[/display]