Білінійні та квадратичні форми

Означення 1. Білінійною формою на векторному просторі [math] V [/math] над полем [math] K [/math]називається функція [math] f [/math] від двох аргументів-векторів із значеннями в полі [math] K [/math], лінійна відносно кожного аргументу при фіксованому
другому.

Нехай в просторі вибрано деякий базис [math]e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}[/math].

Нехай вектор [math]x[/math] має координати [math]x_{i}[/math], а вектор [math]y[/math] має координати [math]y_{k}[/math] відносно вибранного базису. Тоді [display] f(x,y) = f(\sum_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}, \sum_{k=1}^{n} y_{k}e_{k}) = \sum_{i,k=1}^{n} f(e_{i},e_{k}) x_{i} y_{k} = \sum_{i,k=1}^{n} a_{ik} x_{i}y_{k}.[/display]

Числа [math]f(e_{i},e_{k}) = a_{ij} \in K [/math] залежать від базису, але не залежать від вибору векторів. Матриця [math]A =
(a_{ij})[/math] називається {\em матрицею білінійної форми} (в базисі [math]e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}[/math]).

Означення 2.  Білінійна форма [math]f[/math] називається симетричною, якщо [math]f(x, y) = f(y, x)[/math] для довільних векторів [math]x, y[/math] простору [math]V[/math].

Означення 3.  Симетрична білінійна форма [math]f(x, y)[/math] при [math]x = y[/math] називається квадратичною формою і позначається [math]f(x)[/math].

При фіксованому базисі квадратична форма має вигляд: [display] f(x) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} x_{i} x_{j},[/display] де [math]A = (a_{ij})[/math] - (симетрична) матриця квадратичної форми.

Таким чином, квадратична форма є однорідний многочлен другого степеня від змінних [math]x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}[/math].
Скорочений матричний запис квадратичної форми:
[display] f(x_{1},x_{2},..., x_{n}) = X^{T} A X.[/display]

Нагадаємо, що при переході до нового базису за допомогою матриці переходу [math]C[/math] координати пов'язані слідуючим чином: [math]X = C X'[/math]. Матриця [math]A'[/math] квадратичної форми [math]f(x)[/math] від нових координат буде: [math]A'= C^{T} A C[/math].

Кажуть, що квадратична форма має канонічний вигляд, якщо вона складається тільки із квадратів координат з деякими коефіцієнтами, які називають {\em канонічними}. Зрозуміло, що матриця квадратичної форми у канонічному вигляді діагональна.

Теорема 4. У дійсному векторному просторі існує базис, у якому квадратична форма має канонічний вигляд.

Означення 5.  Головними мінорами матриці [math]A = (a_{ij})[/math] порядку [math]n[/math] називають такі визначники:[math]
\Delta_{1}= a_{11}, \enspace
\Delta_{2} =\left| \matrix{
a_{11}&  a_{12}\\
a_{21} & a_{22} \\}
, \cdots ,
\Delta_{k} = det(a_{ij}) \enspace i,j = 1, \ldots , k, \cdots ,
\Delta_{n} = det A_{n}.[/math]

Лема 6. Для того, щоб невироджена матриця зображалась у вигляді добутку лівої унітрикутної, діагональної та правої унітрикутної матриць, необхідно і достатньо, щоб головні мінори матриці були відмінні від нуля.

Теорема 7. Нехай матриця квадратичної форми невироджена. Для того, щоб форма була перетворена до канонічного вигляду за допомогою правої унітрикутної матриці, необхідно і достатньо, щоб головні мінори матриці квадратичної форми були відмінні від нуля. При цьому, канонічні коефіцієнти визначаються через головні мінори:
[display] f = \Delta_{1} x_{1}^{'2} + \frac{\Delta_{2}}{\Delta_{1}} x_{2}^{'2} + \cdots + \frac{\Delta_{n}}{\Delta_{n-1}} x_{n}^{'2}.[/display]

Опишемо метод ортогонального перетворення квадратичної форми до канонічного вигляду. Будемо розглядати квадратичну форму [math]f(x)[/math] в евклідовому просторі [math]V[/math]. В деякому ортонормованому базисі евклідового простору [math]V[/math] симетричну матрицю [math]A[/math] квадратичої форми [math]f(x)[/math] можна вважати матрицею самоспряженого оператора [math]\varphi(x)[/math]. Відомо, що для самоспряженого оператора існує ортонормований базис з власних векторів оператора , в якому матриця оператора буде діагональною. Отже матриця переходу [math]C[/math] до власного базису ортогональна, тобто [math]C^{-1}= C^{T}[/math]. Це означає, що при переході до ортонормованного базису з власних векторів самоспряженого оператора [math]\varphi(x)[/math], заданого симетричною матрицею квадратичної форми [math]f(x)[/math], закони перетворення матриці оператора і матриці квадратичної форми збігаются, причому канонічними коефіцієнтами квадратичної форми є власні числа матриці квадратичної форми.