Означення 1. Упорядковану сукупність елементів поля [math]K [/math] ми розуміємо поле дійсних або комплексних чисел назвемо вектором. Елементи сукупності називають компонентами вектора.
Елементи поля [math] K [/math] називають скалярами, або числами.
Рядком назвемо вектор, у якого компоненти записані слідуючим чином: [math]\pmatrix {a_{1} & a_{2}& \ldots & a_{n}}
[/math] .
Стовпець - це вектор, записаний у вигляді: [math]\pmatrix {a_{1} \\ a_{2}\\ \ldots \\ a_{n}}
[/math] .
Означення 2. Вектор, усі компоненти якого дорівнюють нулю, називають нульовим.
Означення 3. Кількість компонента вектора назвемо розміром вектора. Розмір рядка (стовпця) іноді називають довжиною рядка (стовпця).
Над векторами одного розміру визначена покомпонентна операція додавання, тобто [math]( a_{j} ) + ( b_{j} ) = ( a_{j} + b_{j}
)[/math] , а також визначена операція множення на число: [math] \lambda( a_{j} ) = ( \lambda a_{j} )[/math] .
Означення 4. Сума добутків векторів на деякі скаляри називають лінійною комбінацією цих векторів.
Означення 5. Матриця - це прямокутна таблиця, яка складена з деякої кількості рядків ( або стовпців ) однакової довжини.
Матриці записують слідуючим чином :
[display]
A =
\pmatrix{
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}}
= ( a_{ij} ) = ( a_{ij} )_{mn} = ( a^{i}_{j} )
[/display]
Кажуть, що матриця [math] A [/math] є прямокутна матриця розміру [math] (m, n) [/math] .
Якщо [math]m = n[/math] , то [math]A [/math] називається квадратною матрицею порядку [math] n [/math] .
Числа [math]a_{ij}[/math] називають елементами матриці, індекс [math]i[/math] вказує на номер рядка, [math] j [/math] на номер стовпця, на перетині яких розташований даний елемент.
Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою. Позначають нуль-матрицю просто 0 (нуль).
Елементи квадратної матриці, які розташовані на перетині рядків та стовпців з однаковими номерами, складають головну діагональ квадратної матриці.
Слідуючі квадратні матриці мають назву:
Одинична, якщо елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а усі інши елементи матриці дорівнюють нулю;
одиничну матрицю порядку [math] n [/math] позначають [math]E_{n}[/math] ( або просто [math] E [/math] );
Діагональна, якщо [math] a_{ij} = 0[/math] при [math] i \not = j[/math];
Трикутна, якщо [math] a_{ij} = 0[/math] при [math]i < j[/math] (ліва трикутна);
Діагональна матриця, у якої елементи головної діагоналі однакові, називається скалярною.
Трикутна матриця називається унітрикутною, якщо всі елементиїї головної діагоналі дорівнюють [math]1[/math].
Нехай матриці [math]A[/math] і [math]B[/math] порядку [math]n[/math] і [math] m [/math] відповідно, матриця [math] C [/math] розміру [math] (m,n) [/math], а матриця [math] D [/math] розміру [math] (n,m)[/math]. Тоді матриця виду [math]\pmatrix{
A & D \\ C & B \\ }[/math] називають блочною матрицею.
Якщо в такій блочній матриці матриця [math] C [/math] або [math] D [/math] нульова, то таку матрицю назвемо блочно-трикутною; якщо матриці [math] C [/math] і[math] D [/math] одночасно нульові, то - блочно-діагональною.
Означення 6. Якщо рядки матриці [math] A [/math] записати стовпцями (у порядку слідування рядків матриці [math] A [/math]), то таке перетворення називають транспонуванням матриці [math] A [/math] . Транспоновану матрицю позначають [math]A^{T}[/math].
Якщо довільна квадратна матриця [math] A [/math] задовільняє умові [math]A^{T} = A[/math], то така матриця називається
симетричною, якщо ж [math]A^{T} = - A[/math], то - кососиметричною.
Означення 7. Нехай [math]A = (a_{ij}), \enspace B = (b_{ij})[/math] - матриці однакового розміру. Сумою цих матриць називається матриця [math] A + B = C =(c_{ij}) [/math], де [math] c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} [/math], тобто, дія додавання матриць виконується поелементно.
Означення 8. Добутком матриці [math] A = (a_{ij})[/math] на число [math] \lambda [/math] називається матриця [math]\lambda A = (\lambda a_{ij})[/math].
Означення 9. Добутком рядка на стовпець однакової довжини є сума добутків відповідних компонент. [display] A =\pmatrix{ a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n} }, \enspace B =\pmatrix{
b_{1} \\ b_{2}\\ \ldots \\ b_{n}}[/display]
[display]A B = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} +...+ a_{n}b_{n}[/display].
Означення 10. Добутком однієї матриці на другу є матриця, у якої елемент, розташований на перетині [math]i[/math]-го
рядка та [math] j [/math]-го стовпця, визначається як добуток [math] i [/math]-го рядка першої матриці на [math] j [/math]-тий стовпець другої.
[display] A = (a_{ik})_{mn}, \enspace B = (b_{kj})_{nr}, \enspace C =
(c_{ij})_{mr}[/display]
[display] c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}[/display].
Зауважимо, що добуток визначається лише в тому випадку, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої.
Основні властивості операцій додавання матриць і множення матриці на число:
1. [math] A + B = B + A[/math] (комутативність).
2. [math] A + ( B + C ) = ( A + B ) + C [/math] (асоціативність).
3. [math] A + 0 = A [/math], при будь-якій матриці [math] A [/math].
4. Для будь-якої матриці [math] A [/math] існує протилежна матриця [math](-A)[/math], така, що [math] A + (-A) = 0[/math].
Властивості множення матриць:
1. [math](\alpha A)B = A(\alpha B) = \alpha A B[/math], де [math]\alpha [/math]- число.
2. [math] (A_{1}+A_{2})B = A_{1}B + A_{2}B, A(B_{1}+B_{2}) = AB_{1} + AB_{2}.[/math]
3. [math] A( B C ) = ( A B )C[/math] (асоціативність).
Множення матриць є некомутативною операцією.
Властивості операції транспонування:
1. [math] ( A^{T} )^{T} = A.[/math]
2. [math] ( A + B )^{T} = A^{T} + B^{T}.[/math]
3. [math] ( A B )^{T} = B^{T} A^{T}. [/math]
Означення 11. Слідом квадратної матриці називається сума елементів головної діагоналі. Слід матриці [math] A [/math] позначають [math]tr(A)[/math].