Кажуть, що пара елементів [math] (k_{i}, k_{j})[/math] в перестановці [math] k_{1}, k_{2}, \ldots , k_{n}[/math] елементів [math] 1, 2, \ldots , n[/math] утворює інверсію, якщо [math] k_{i} > k_{j} [/math] при [math]i < j[/math]. Кількість усіх інверсій перестановки позначають [math] inv (k_{1}k_{2}...k_{n})[/math].
Означення 1. Визначником (детермінантом) квадратної матриці [math]A = ( a_{ij})[/math] називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків [math] a_{1k_{1}}a_{2k_{2}}...a_{nk_{n}}[/math] елементів матриці, взятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця з знаком [math] (-1)^{inv(k_{1}k_{2} \ldots k_{n})} [/math].
Детермінант матриці [math] A[/math] такий:
[display] \Delta = det A = | A | = det ( a_{ij} ) = \left | \matrix{
a_{11} &a_{12} & \ldots& a_{1n} \\
a_{21} &a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n1} &a_{n2} & \ldots & a_{nn} } \right | [/display]
Отже, [display]\Delta = \sum_{k_{1}k_{2} \ldots k_{n}} (-1)^{inv(k_{1}k_{2} \ldots k_{n}} a_{1k_{1}}a_{2k_{2}} \ldots a_{nk_{n}}.[/display]
Властивості визначників довільного порядку:
1. При транспонуванні матриці її визначник не змінюється.
Властивість 1 називають властивістю рівноправності рядків і стовпців. Це означає, що всяка властивість визначника для рядків
правильна і для стовців.
2. Якщо всі елементи деякого рядка визначника дорівнюють нулю, то такий визначник дорівнює нулю.
3. Якщо елементи [math]i[/math]-го рядка матриці [math]A[/math] записані як сума двох доданків, то визначник цієї матриці дорівнює сумі двох визначників, матриці які відрізняються від [math]A[/math] тільки [math]i[/math]-тим рядком, причому елементи [math]i[/math]-го рядка першого визначника складені з відповідних перших доданків [math]i[/math]-го рядка матриці [math]A[/math], а елементи [math]i[/math]-го рядка другого визначника - з відповідних других доданків.
4. Якщо визначник має два однакових рядка, то він дорівнює нулю.
5. Якщо в матриці поміняти місцями два рядка, то її визначник змінить знак на протилежний.
6. Якщо всі елементи деякого рядка визначника мають спільний множник, то цей множник можна винести за знак визначника.
7. Визначник, в якого відповідні елементи двох рядків пропорційні, дорівнює нулю.
8. Визначник не змінюється, якщо до елементів одного рядка додати відповідні елементи другого рядка, помножені на одне й те самечисло.
Алгебраїчним доповненням елемента матриці називатимемо визначник, одержаний з матриці заміною цього елемента на 1, а елементів рядка та стовпця, в яких знаходився елемент, на нулі. Алгебраїчне доповнення елемента [math] a_{ij} [/math] матриці
[math]A = ( a_{ij})[/math] позначають [math]A_{ij}[/math].
9. Визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка на відповідні алгебраїчні доповнення. [math] \Delta = a_{i1}A_{i1} + \cdots + a_{ik}A_{ik} + \cdots + a_{in}A_{in}[/math].
Мінором елемента квадратної матриці називають детермінант матриці, утвореної після викреслювання рядка та стовпця, в
якому знаходився елемент. Мінор елемента [math]a_{ij}[/math] позначають [math]M_{ij}[/math].
Теорема 2. [math]A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}.[/math]
Теорема 3. Детермінант добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку детермінантів цих матриць.
Теорема 4. Сума добутків елементів будь-якого рядка матриці на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка цієї матриці дорівнює нулю.