Обернена матриця

Означення 1. Якщо для квадратної матриці [math]A [/math] існує така матриця [math]X[/math], що [math]A X = X A = E[/math] (одинична матриця), то матрицю [math]X[/math] називають оберненою матрицею до матриці [math]A[/math] і позначають [math]A^{-1}[/math].

Твердження 2. Обернена матриця для кожної матриці єдина.

Означення 3.  Матриця, детермінант якої дорівнює нулю, називається особливою (виродженою). В іншому випадку, матриця називається неособливою (невиродженою).

Теорема 4.  Щоб матриця мала обернену, необхідно і достатньо, щоб вона була неособливою.

Якщо [math] det A \not = 0[/math], то [display] A^{-1}=\frac{1}{det A} =\pmatrix{
A_{11} & A_{21} & \ldots & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & \ldots & A_{n2} \\
\ldots & \ldots & \ldots& \ldots \\
A_{1n} & A_{2n} & \ldots & A_{nn} \\}
= \frac{1}{det A} \tilde A, [/display], де [math]A_{ij}[/math]- алгебраїчні доповнення. Матрицю [math]\tilde A[/math] називають  приєднанною до матриці [math]A[/math].

Властивості оберненої матриці:
1.  [math]det (A^{-1}) = (det A)^{-1}.[/math]

2.  [math](A B)^{-1}= B^{-1}A^{-1}.[/math]

3.  [math](A^{T})^{-1}= (A^{-1})^{T}.[/math]