Математичний інформаційний портал

Означення 1.  Елементарними перетвореннями матриці називатимемо операції над матрицею слідуючих типів :

тип 1 - переставлення двох рядків або стовпців

тип 2 - множення рядка або стовпця матриці на довільне число, відмінне від нуля.

тип 3 - додавання до якогось рядка (стовпця) матриці іншого рядка ( стовпця ), помноженого на деяке число, відмінне від нуля.

Означення 2.  Матрицю називатимемо матрицею східчастого виду, якщо вона задовольняє слідуючим умовам:
1. якщо [math]i[/math]-тий рядок складений з нулів, то [math](i + 1)[/math]-ший рядок також складений з нулів;

2.  якщо перші ненульові елементи [math]i[/math]-го та [math](i +1)[/math]-го рядків розташовано в стовпцях з номерами [math]k_{i}[/math] та [math]k_{i+1}[/math], відповідно, то [math]k_{i} < k_{i+1}[/math].

Теорема 3.  Усяку матрицю скінченим числом елементарних перетворень рядків можна звести до східчастого виду.

Означення 4.  Кажуть, що матриця [math]A[/math] еквівалентна матриці [math]B[/math] , якщо [math]B[/math] одержана з
[math]A[/math] за декілька елементарних перетворень.

Означення 5.  Через [math]E_{st}[/math] будемо позначати квадратну матрицю, в якій на перетині [math]s[/math]-го рядка та
[math]t[/math]-го стовпця стоїть 1, а всі інші елементи - нульові.
Такі матриці називатимемо матричними одиницями.

Означення 6. Елементарними матриці, які одержано з одиничної матриці за допомогою одного з елементарних перетворень.
[display] F_{st} = E - E_{ss} - E_{tt} + E_{st} + E_{ts},[/display]
[display] F_{s}( \lambda ) = E + (\lambda - 1)E_{ss},[/display]
[display] F_{st} ( \lambda ) = E + \lambda E_{st},[/display]
де [math]s \not= t, \enspace \lambda \not= 0[/math].

Елементарні матриці неособливі, причому
[display](F_{st})^{-1} = F_{st}; \enspace
(F_{s}(\lambda))^{-1} = F_{s}(\lambda^{-1}); \enspace
(F_{st}(\lambda))^{-1} = F_{st}(-\lambda).
[/display]
Означення 7.  Множення матриці [math]A[/math] на
а) матрицю [math]F_{st}[/math] зліва (справа) рівносильно переставленню [math]s[/math]-го та [math]t[/math]-го рядків (стовпців) матриці [math]A[/math];

б) матрицю [math]F_{s}( \lambda )[/math] зліва (справа) рівносильно множенню [math]s[/math]-го рядка (стовпця) матриці [math]A[/math] на число [math]\lambda[/math];

в) матрицю [math]F_{st}(\lambda)[/math] зліва (справа) рівносильно додаванню до [math]s[/math]-го рядка [math]t[/math]-го
рядка (до [math]t[/math]-го стовпця - [math]s[/math]-го стовпця) матриці [math]A[/math], помноженного на число [math]\lambda[/math].

Теорема 8.  Усяку матрицю [math]A[/math] за допомогою деяких матриць [math]S[/math] і [math]T[/math] (тобто, за допомогою елементарних перетворень рядків і стовпців) можна привести до виду
[display]SAT =\pmatrix {E_{r} & 0 \\ 0 & 0},[/display] де [math]r[/math] - порядок одиничної матриці.

Означення 9.  Мінором [math]k[/math]-го порядку матриці [math]A[/math] називатимемо детермінант підматриці, утвореної з елементів матриці [math]A[/math], які стоять на перетині вибраних [math]k[/math] рядків та [math]k[/math] стовпців, і розміщених в тому самому порядку, що і в матриці [math]A[/math].

Означення 10.  Рангом матриці називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці.

Ранг матриці [math]A[/math] позначають [math]rang A[/math] або [math]r (A)[/math].

Теорема 11.  Елементарні перетворення матриці не змінюють її ранга.

Твердження 12.  Ранг східчастої матриці дорівнює числу її ненульових рядків.