Означення 1. Елементарними перетвореннями матриці називатимемо операції над матрицею слідуючих типів :
тип 1 - переставлення двох рядків або стовпців
тип 2 - множення рядка або стовпця матриці на довільне число, відмінне від нуля.
тип 3 - додавання до якогось рядка (стовпця) матриці іншого рядка ( стовпця ), помноженого на деяке число, відмінне від нуля.
Означення 2. Матрицю називатимемо матрицею східчастого виду, якщо вона задовольняє слідуючим умовам:
1. якщо [math]i[/math]-тий рядок складений з нулів, то [math](i + 1)[/math]-ший рядок також складений з нулів;
2. якщо перші ненульові елементи [math]i[/math]-го та [math](i +1)[/math]-го рядків розташовано в стовпцях з номерами [math]k_{i}[/math] та [math]k_{i+1}[/math], відповідно, то [math]k_{i} < k_{i+1}[/math].
Теорема 3. Усяку матрицю скінченим числом елементарних перетворень рядків можна звести до східчастого виду.
Означення 4. Кажуть, що матриця [math]A[/math] еквівалентна матриці [math]B[/math] , якщо [math]B[/math] одержана з
[math]A[/math] за декілька елементарних перетворень.
Означення 5. Через [math]E_{st}[/math] будемо позначати квадратну матрицю, в якій на перетині [math]s[/math]-го рядка та
[math]t[/math]-го стовпця стоїть 1, а всі інші елементи - нульові.
Такі матриці називатимемо матричними одиницями.
Означення 6. Елементарними матриці, які одержано з одиничної матриці за допомогою одного з елементарних перетворень.
[display] F_{st} = E - E_{ss} - E_{tt} + E_{st} + E_{ts},[/display]
[display] F_{s}( \lambda ) = E + (\lambda - 1)E_{ss},[/display]
[display] F_{st} ( \lambda ) = E + \lambda E_{st},[/display]
де [math]s \not= t, \enspace \lambda \not= 0[/math].
Елементарні матриці неособливі, причому
[display](F_{st})^{-1} = F_{st}; \enspace
(F_{s}(\lambda))^{-1} = F_{s}(\lambda^{-1}); \enspace
(F_{st}(\lambda))^{-1} = F_{st}(-\lambda).
[/display]
Означення 7. Множення матриці [math]A[/math] на
а) матрицю [math]F_{st}[/math] зліва (справа) рівносильно переставленню [math]s[/math]-го та [math]t[/math]-го рядків (стовпців) матриці [math]A[/math];
б) матрицю [math]F_{s}( \lambda )[/math] зліва (справа) рівносильно множенню [math]s[/math]-го рядка (стовпця) матриці [math]A[/math] на число [math]\lambda[/math];
в) матрицю [math]F_{st}(\lambda)[/math] зліва (справа) рівносильно додаванню до [math]s[/math]-го рядка [math]t[/math]-го
рядка (до [math]t[/math]-го стовпця - [math]s[/math]-го стовпця) матриці [math]A[/math], помноженного на число [math]\lambda[/math].
Теорема 8. Усяку матрицю [math]A[/math] за допомогою деяких матриць [math]S[/math] і [math]T[/math] (тобто, за допомогою елементарних перетворень рядків і стовпців) можна привести до виду
[display]SAT =\pmatrix {E_{r} & 0 \\ 0 & 0},[/display] де [math]r[/math] - порядок одиничної матриці.
Означення 9. Мінором [math]k[/math]-го порядку матриці [math]A[/math] називатимемо детермінант підматриці, утвореної з елементів матриці [math]A[/math], які стоять на перетині вибраних [math]k[/math] рядків та [math]k[/math] стовпців, і розміщених в тому самому порядку, що і в матриці [math]A[/math].
Означення 10. Рангом матриці називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці.
Ранг матриці [math]A[/math] позначають [math]rang A[/math] або [math]r (A)[/math].
Теорема 11. Елементарні перетворення матриці не змінюють її ранга.
Твердження 12. Ранг східчастої матриці дорівнює числу її ненульових рядків.