Лінійні функціонали. Спряжені простори.
Означення 1. Лінійним функціоналом, або лінійною формою, на векторному просторі [math]V[/math] над полем [math]K[/math] називається лінійне відображення [math]f[/math] простору [math]V[/math] в поле скалярів [math]K[/math], тобто для будь-яких векторів [math]x, y \in V[/math], та [math]\alpha \in K[/math] маємо [display] f(x + y) = f(x) + f(y), f(\alpha x) = \alpha f(x).[/display]
Нехай у просторі [math]V[/math] вибрано базис [math]e_{1}, e_{2},\ldots , e_{n}[/math].
Для будь-якого [math]x \in V, \enspace f(x) = f(x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + \cdots + x_{n}e_{n}) = x_{1}f(e_{1}) + x_{2}f(e_{2}) + \cdots + x_{n}f(e_{n})[/math]. Позначимо [math]f(e_{i}) = a_{i} \in K, \enspace i = 1, 2, \ldots ,n[/math]; дістанемо [math]f(x) =
a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \cdots + a_{n}x_{n}[/math].
Таким чином, лінійний функціонал [math]f(x)[/math] означено сукупністю чисел [math] a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n} [/math] відносно вибраного базису.
Вираз [math]a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \cdots + a_{n}x_{n}[/math] називається лінійною формою від координат [math]x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n}[/math].
Для лінійних функціоналів визначаються дії додавання та множення на скаляр з поля [math]K[/math]: [display] (f_{1} + f_{2})(x) = f_{1}(x) + f_{2}(x), \enspace (\alpha f)(x) = \alpha f(x), \alpha \in K.[/display]
Означення 2. Множина всіх лінійних функціоналів простору [math]V[/math] над полем [math]K[/math], утворює векторний простір над полем [math]K[/math], який називається спряженим (дуальним) простором до простору [math]V[/math] і позначається [math]V^{*}[/math].
Позначимо через [math]f_{i}[/math] функціонал, який кожному вектору [math]x[/math] ставить у відповідність його [math]i[/math]-ту координату, тобто [math]f_{i}(x) = x_{i}[/math]. Тоді [math]f_{i}[/math] - лінійний функціонал, та [math]f_{i}(e_{i}) = 1; \enspace f_{i}(e_{j}) = 0[/math], якщо [math] i \neq j[/math].
Система функціоналів [math]f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}[/math] утворює базис спряженого простору [math]V^{*}[/math], який називають двоїстим, або дуальним до базису [math]e_{1}, e_{2},\ldots , e_{n}[/math] простору [math]V[/math].
Нехай у просторі [math]V[/math] вибрано новий базис [math]e'_{1}, e'_{2}, \ldots , e'_{n}[/math].
Координати вектора [math]x[/math] у старому базисі пов'язані з координатами у новому базисі так:[display]\pmatrix{
x_{1} \\ x_{2} \\ \ldots \\ x_{n} \\
\enspace }= \enspace\pmatrix{
c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n} \\
c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nn} \\}
\pmatrix {x'_{1} \\ x'_{2} \\ \ldots \\ x'_{n} \\}[/display] де матриця [math]C = (c_{ij})[/math] - матриця переходу від базису
[math]\{e_{i}\}[/math] до базису [math]\{e'_{i}\}[/math].
[display] f(x) =\sum_{i=1}^{n} a_{i}x_{i} =\sum_{i=1}^{n}a_{i} ((\sum_{k=1}^{n} c_{ik}x'_{k}) =\sum_{k=1}^{n}(\sum_{i=1}^{n} c_{ik}a_{i}) x'_{k}.[/display]
Отже, координати функціонала [math]f(x)[/math] у базисі, дуальному до базису [math]\{e'_{1},e'_{2}, \ldots ,e'_{n} \}[/math] будуть:
[math]a'_{k} =\sum_{i=1}^{n} c_{ik}a_{i}[/math], або [display] \pmatrix{a_{1} \\ a_{2} \\ \ldots \\ a_{n} \\
\enspace} = \enspace\pmatrix{
c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n} \\
c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nn} \\}
\pmatrix{ a'_{1} \\ a'_{2} \\ \ldots \\ a'_{n} \\}[/display]
При цьому кажуть, що координати функціонала змінюються контравараінтно з координатами вектора. Відповідно цьому, лінійні
функціонали на просторі [math]V[/math] називають ковекторами .
Матрицю [math](C^{T})^{-1}[/math] називають контраградієнтною до матриці [math]C[/math].
