Математичний інформаційний портал

Практичне заняття №1.

Тема: Розвиток поняття про число.

Мета: Узагальнити і систематизувати знання про числові множини. Сформувати вміння розв’язувати методичні завдання.

Теоретичний блок:

1. Опрацювати тему «Модуль дійсного числа та його властивості» за підручником Н. І. Шкіль Алгебра та початки аналізу .
2. Опрацювати тему «Модуль дійсного числа та його властивості» за підручником  Є.П. Нелін Алгебра та початки аналізу.
3. Порівняти підходи обрані в двох підручниках. Усно.
4. Розглянути будову числової лінії шкільного курсу математики за планом

1. Числова лінія шкільного курсу математики як система.
2. Методичні особливості викладання окремих тем числової лінії

Система – сукупність елементів, що знаходяться в стосунках і зв'язках між собою і створюючих певну цілісність.

Структура – будова і внутрішня форма організації системи, виступаюча як єдність стійких взаємозв'язків між її елементами.

Числова лінія

Елементи: числа, організовані в рівні по окремій числовій множині.

Внутрішні зв’язки.

 Зовнішні зв'язки – зв'язки з іншими лініями.

Схеми розвитку поняття числа

Системно-структурний аналіз.

1. Загальне поняття числа в більшості технологій не розглядається.     

• Під натуральним числом розуміється якийсь символ, що характеризує клас еквівалентних між собою множин, між елементами яких можна встановити взаємно-однозначну відповідність, тобто символ, що позначає потужність не порожньої скінченної множини.

2. Числа вводяться для різних потреб:

• натуральні  –  через необхідність перераховувати     предмети;
• від’ємні  – для позначення велічини або її виміру;
• дроби  –  через поняття долі;
• ірраціональні   через розв’язування рівнянь;
• дійсні – через встановлення відповідності.

Таким чином,  загальної ідеї немає, вертикальні зв'язки відсутні.

3. Базовою дією, яка вводиться без означення, є додавання натуральних чисел.

• Останні операції для множин  Z і Q визначаються, але вводяться по-різному, а для множин Q \R   і  R  не вводяться і не розглядаються. Питання про виконуваність операцій не ставиться, оскільки немає потреби.

Таким чином, цілісність порушується.

Загальний висновок: з точки зору системності  в розгортанні числової лінії є ряд істотних недоліків

              Можливі варіанти для загальної ідеї розгортання числової лінії:

• Розв’язування рівнянь        (вертикальний зв'язок)
• Виконуваність дій       (горизонтальний зв'язок)

Принцип спільності розв’язування типових завдань

Якщо на одній з множин типове завдання розв’язується якою-небудь дією і її дані можуть виражатися числами, що належать іншій множині, то і на цій іншій множині завдання повинне розв’язуватися тією ж дією.

Принцип змінності і мінімальності для розширення числової множини.

Якщо множина А розширюється до множини В, то:

• А має бути підмножиною В;
• Всі операції, визначені в А, мають бути визначені і у В, причому при їх виконанні для елементів безлічі А повинні виходити колишні результати;
• Всі властивості операцій, що мали місце в А, повинні виконуватися і у В;
• У множині В виконується яка-небудь операція, що не виконується в А;
• Множина В – мінімальна, що задовольняє попереднім властивостям.

Деякі методичні особливості вивчення натуральних чисел

• Вивчення починається в початковій школі, в 5 класі здійснюється систематизація знань
• Систематизація йде з опорою на позиційне представлення числа. З метою виділення істотних ознак позиційних систем числення доцільно розглянути недесяткові і  непозиційні системи
• Посилюється роль теоретичних обгрунтувань, що виявляється в поєднанні методів індукції і дедукції

Приклад поєднання методів індукції і дедукції

Додавання багатозначних чисел «стовпчиком» обгрунтовується таким чином:

• Пропонується конкретний приклад:   345 + 623
• Кожен доданок розкладається по розрядах: (300 + 40+ 5) + +(600 + 20 + 3)
• Застосовуються переставний і сполучний закони додавання: (300 + 600) + (40 + 20) + (5 +3) 
• Виконуються дії   900 + 60 +8 = 968
• Далі робиться висновок, що суму багатозначних чисел можна отримати додаючи їх порозрядно, а додавання «стовпчиком» є короткий запис такого способу додавання:                                    

345

623

968

Таким чином,

• Міркування проводяться на основі прикладу, тому вони індуктивні;
• Посилання на закони додавання усередині цього прикладу є дедуктивними проявами

Деякі методичні особливості вивчення дробових чисел

• Перше знайомство  з дробовими числами відбувається в початковій школі, але систематичне вивчення починається в 5 класі

• Дробові числа вводяться через поняття «долі»

•  Важливе значення має питання мотивації для введення дробових чисел.    
• Існують три прийоми для мотивації: вимірювання величини; розв’язування рівнянь; виконуваність дій.
• Існує методична проблема порядку вивчення десяткових і звичайних дробів: які з них вивчати першими? 
• Є три підходи до вирішення цієї проблеми, які з методичної точки зору рівноправні.

Підходи до проблеми порядку вивчення десяткових і звичайних дробів

1. Вивчаються спочатку звичайні дроби, а потім десяткові. Обгрунтування: десяткові дроби є формою запису дробів з певним виглядом знаменників.
2. Вивчаються спочатку десяткові дроби, потім звичайні. Обгрунтування: у десяткових дробах зберігається ідея позиційності, що дає можливість перенесення відомих способів дій з натуральними числами на нові об'єкти, і вони зручніші в обчисленнях.
3. Вивчення звичайних і десяткових дробів чергується. Обгрунтування: звичайні дроби більш універсальні, але десяткова форма дробів простіша для вивчення.

Деякі методичні особливості вивчення дробових чисел

• Особливе значення має розрізнення суті понять «дріб», «дробове число», «змішане число» .

Дріб – форма запису як цілих, так і не цілих чисел, причому будь-яке число можна записати за допомогою різних дробів.

Змішане число – форма запису дробових чисел, модуль яких                  більший за одиницю.

Деякі методичні особливості вивчення від’ємних чисел

• Для збереження системності у викладі змісту числової лінії необхідно спиратися на всі три прийоми для мотивації введення нових чисел, але пріоритетним напрямом слід розглядати ідею виконуваності дій.
• Є методична складність в обгрунтуванні доцільності введення правил дій з від’ємними числами, оскільки складно підібрати сюжетну фабулу завдання для використання принципу спільності розв’язання типових завдань. Таким завданням може бути завдання про зміну температури повітря або рівня води в річці
•  Особливістю вивчення правил дій є і те, що для кожної арифметичної дії є декілька правил їх виконання.
• Вироблення правильних алгоритмів дій – важливий момент методики       

Слід звернути увагу учнів, що результат дії – число, що характеризується знаком і модулем, тому при виконанні дій 

1. спочатку знаходимо знак шуканого числа, 
2. потім модуль шуканого числа.

Саме у такому порядку!

Деякі методичні особливості вивчення ірраціональних чисел

• Для практичних обчислень множини раціональних чисел вистачає. Необхідність вивчення дійсних чисел більшою мірою викликається потребами самої математики (наприклад, побудова графіків суцільною лінією);
•  Головна трудність – жодна теорія дійсного числа не може бути викладена  в шкільному курсі математики навіть у старших класах через  високу міру абстрактності, а потреби математики вимагають більш раннього введення поняття ірраціональних чисел;
• Основою для введення ірраціональних чисел служить одне із завдань:
  • Завдання про вимірювання відрізків,
  • Завдання про добування кореня.
• Необхідно відзначити, що існують ірраціональні числа, які не можна отримати добуванням кореня, тому ірраціональне число визначається як нескінченний неперіодичний десятковий дріб.
• Більшість питань, пов'язаних з вивченням ірраціональних чисел, розглядаються на рівні наочних уявлень.
• Роз'яснити арифметичний сенс навіть основних операцій дуже непросто, тому їм часто дається геометрична, наочна інтерпретація. Наприклад, для суми через побудову відрізка, рівного сумі двох інших відрізків, а для множення – через обчислення площі прямокутника;

Вивчення комплексних чисел.

• Вивчення комплексних чисел не входить у програми базових курсів шкільної математики, але включено в програми профільних фізико-математичних класів.

Практичний блок:

1. Переглянути представлений урок. Зробити його аналіз.

Відео фрагмент

2. Розвя’зання рівнянь, що містять вирази під знаком модуль

Заміна:

не має розвязків

Розв’язати рівняння:

та описати методику розв’язання.

Розв’язання нерівностей, що містять вирази під знаком модуль

                   Розв’язати нерівності:

та описати методику розв’язання.