Математичний інформаційний портал

Означення 1.  Підпростором векторного простору називається непорожня підмножина векторів простору, яка сама утворює векторний простір.

Приклади. 1. У будь-якому просторі існують два тривіальних підпростори - сам простір й підпростір, складений тільки з нульового вектора.

2. У просторі [math] R_{n}[x][/math] підпросторами будуть, наприклад, всі [math]R_{k}[x][/math], де [math]k < n[/math].

3. Лінійна оболонка будь-якої сукупністі векторів простору утворює підпростір.

4. Сукупність усіх розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь з [math]n[/math] невідомими утворює підпростір простору
рядків довжини [math]n[/math]. Розмірність цього підпростору дорівнює [math]n - r[/math] , де [math]r[/math] ранг заданої системи. Фундаментальна система розв'язків є базисом простору розв'язків.

Означення 2.  Нехай [math]V_{1}[/math] і [math]V_{2}[/math] - підпростори простору [math]V[/math]. Сумою підросторів [math]V_{1} + V_{2}[/math] називається множина [math]\{x_{1} + x_{2} \mid x_{1} \in V_{1}, x_{2} \in V_{2}\}[/math]. Перетином підпросторів [math]V_{1} \cap V_{2}[/math] називається множина векторів, які входять одночасно до [math]V_{1}[/math] і [math]V_{2}[/math].

Сума й перетин підпросторів є підпросторами простору [math]V[/math].

Означення 3.  Сума двох підпросторів [math]V_{1}[/math] і [math]V_{2}[/math]називається прямою сумою, якщо для кожного вектора з простору[math]V_{1} + V_{2}[/math] існує однозначне зображення у вигляді суми вектора з [math]V_{1}[/math] і вектора з [math]V_{2}[/math], теж саме, що з рівності [math]x + y = 0[/math] при [math]x \in V_{1}, y \in V_{2}[/math] слідує [math]x = 0, y = 0[/math]. Пряма сума позначається [math]V_{1} \oplus V_{2}[/math].

Твердження 4.  Сума підпросторів деякого простору є прямою, тоді і тільки тоді, коли їх перетин не мав інших векторів, крім нульового.

Наслідок 5. Розмірність прямої суми підпросторів дорівнює сумі розмірностей цих підпросторів.

Означення 6. Вектори [math]v_{1}, \ldots , v_{s}[/math] простору [math]V[/math]називаються лінійно незалежними відносно
його підпростору [math]W[/math], якщо з включення [math]\lambda_{1}v_{1} + \cdots + \lambda_{s}v_{s} \in W[/math] слідує, що [math]\lambda_{1} = \cdots = \lambda_{s} = 0[/math].

Тведження 7. Для того щоб сукупність векторів [math]v_{1}, \ldots , v_{s}[/math] була лінійно незалежною відносно підпростору
[math]W[/math], необхідно і достатньо, щоб сукупність [math]v_{1}, \ldots , v_{s}, e_{1}, \ldots , e_{m}[/math], де [math]e_{1},
\ldots , e_{m}[/math] - базис підпростору [math]W[/math], була лінійно незалежною.

Означення 8.  Вектори [math]v_{1}, \ldots , v_{s}[/math] утворюють базис [math]V[/math] відносно [math]W[/math] , якщо вони лінійно-незалежні відносно [math]W[/math] і будь-який вектор [math]x \in V[/math] зображається у виді їх лінійної комбінації з точністю до векторів із [math]W[/math]. Точніше, [math]x = \alpha_{1}v_{1} + \cdots + \alpha_{s}v_{s} + y[/math] , де [math]y \in W[/math].

Твердження 9. Для того щоб вектори [math]v_{1}, \ldots , v_{s}[/math] складали базис [math]V[/math] відносно [math]W[/math] , необхідно і достатньо , щоб вектори [math]v_{1}, \ldots , v_{s}, e_{1}, \ldots , e_{m},[/math] де [math]e_{1}, \ldots , e_{m}[/math] - базис підпростору [math]W[/math], складали базис [math]V[/math].

Наслідок 10. Будь-яка сукупність векторів, що доповнює базис [math]W[/math] до базису [math]V[/math] , є базис [math]V[/math] відносно [math]W[/math]. Будь-яка лінійно незалежна відносно [math]W[/math] сукупність векторів може бути доповнена до базису [math]V[/math] відносно [math]W[/math]. Кількість векторів, складаючих базис [math]V[/math] відносно [math]W[/math], дорівнює [math]dim V - dim W[/math].