Системи лінійних рівнянь
У загальному випадку система [math]m[/math] лінійних рівнянь з [math]n[/math] невідомими [math]x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}[/math]
має слідуючий вигляд:
[display]\cases{
a_{11}x_{1} &+ &a_{12}x_{2} &+& \ldots &+& a_{1n}x_{n} &=& b_{1}\\
a_{21}x_{1} &+ &a_{22}x_{2} &+& \ldots &+& a_{2n}x_{n} &=& b_{2}\\
\ldots & & \ldots & & \ldots & & \ldots & & \\
a_{m1}x_{1} &+ &a_{m2}x_{2} &+& \ldots &+& a_{mn}x_{n}
&=& b_{m} \\}
[/display]
Числа [math]a_{ij}[/math] називають коефіцієнтами системи, а числа [math] b_{i} [/math] -- вільними членами системи.
Означення 1. Розв'язком системи лінійних рівнянь називається упорядкована сукупність чисел [math]\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots ,\alpha_{n}[/math] (тобто, вектор), яка при підстановці замість невідомих перетворює кожне рівняння системи в тотожність.
Означення 2. Система лінійних рівнянь, яка має хоч один розв'язок, називається сумісною. Якщо система не має розв'язків, то вона називається несумісною.
Означення 3. Якщо сумісна система має лише один розв'язок, то її називають визначеною; в іншому випадку сумісну систему називають невизначеною.
Означення 4. Дві системи називаються рівносильними або еквівалентними, якщо вони мають одну і ту ж множину розв'язків.
Означення 5. Матрицю коефіцієнтів системи лінійних рівнянь називають основною матрицею або, просто, матрицею системи.
Систему лінійних рівнянь перепишемо у вигляді:
[display]\pmatrix{
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\}
[/display]
[display]\pmatrix{x_{1} \\ x_{2} \\ \ldots \\ x_{n} \\} [/display]
[display]\pmatrix{ b_{1} \\ b_{2} \\ \ldots \\ b_{m} \\} [/display]
або скорочено: [math]A X = B[/math]. У такому випадку кажуть, що систему лінійних рівнянь записано у матричному вигляді.
Означення 6. Матрицю складену з усіх коефіцієнтів при невідомих і вільних членах називають розширеною матрицею системи і позначають:
[display]
\overline{A} =\pmatrix{
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_{1}\\
a_{21} & a_{22}& \ldots & a_{2n}] &b_{2}\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & b_{m}\\}
[/display]
Означення 7. Елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь назвемо такі перетворення, які не змінюють її розв'язку.
Легко бачити, що слідуючі перетворення системи є елементарними:
(1) переставлення рівнянь місцями;
(2) множення рівняння на довільне число, відмінного від нуля;
(3) додавання до якогось рівняння іншого рівняння системи, помноженого на деяке число, відмінного від нуля.
Для розв'язку систем лінійних рівнянь застосовується метод Гаусса. Опишемо цей метод. Спочатку зведемо розширену матрицю системи до східчастого виду. Нехай у матриці східчастого виду [math]r[/math] ненульових рядків. Якщо в останньому ненульовому рядку всі елементи дорівнюють нулю, крім елемента з стовпця вільних членів, то система несумісна. Інакше, нехай перші ненульові коефіцієнти ненульових рядків матриці східчастого виду розташовані в стовпцях з номерами [math]k_{1}, \ldots , k_{r}[/math]. Тоді невідомі [math]x_{k_{1}}, \ldots , x_{k_{r}}[/math] називатимемо головними, а усі інші - вільними. Очевидно, кількість вільних невідомих дорівнює [math]n - r[/math]. З матриці східчастого виду одержимо систему [math]r[/math] рівняннь з [math] n[/math] невідомими. Дістанемо вирази головних невўіомих через вільні. Ці вирази називаються загальним розв'язком системи.
Надаючи вільним невідомим довільних числових значень, будемо одержувати частинні розв'язки системи.
Теорема 8. (Критерій сумісності Кронекера - Капеллі).Для сумісності системи лінійних рівняннь необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці.
Означення 9. Спільне значення рангів основної і розширенної матриць називають рангом сумісної системи лінійних рівняннь.
Наслідок 10. (Критерій визначенності). Якщо ранг системи дорівнює кількості невідомих, то система визначена, якщо меньше - невизначена.
Розглянемо випадок, коли кількість рівнянь сумісної системи [math]A X = B[/math] дорівнює кількості невідомих і дорівнює рангу системи. У цьому випадку [math]det A \neq 0[/math]. Тоді [display]A X = B \Rightarrow X = A^{-1}B [/display].
Означення 11. Система лінійних рівнянь назив ається однорідною, якщо стовпець вільних членів складається з нулів (в іншому випадку -неоднорідною).
Легко бачити, що однорідна система завжди сумісна. Зауважимо, що нульовий вектор задовільняє рівняння усякої однорідної системи. Такий розв'язок однорідної системи називається тривіальним.
Означення 12. Фундаментальною системою розв'язків невизначенної однорідної системи лінійних рівнянь називається сукупність таких вектор-розв'язків, коли будь-який розв'язок однозначно зображається у вигляді лінійної комбінації вектор-розв'язків цієї сукупності.
Теорема 13. Кількість вектор-розв'язків фундаментальною системою розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь з [math]n[/math] невідомими дорівнює [math]n - r[/math], де [math]r[/math] - ранг системи.
Теорема 14. Загальний розв'язок неоднорідної системи рівнянь дорівнює сумі частинного вектор-розв'язку цієї системи та загального вектор-розв'язку однорідної системи з тією ж матрицею коефіцієнтів.
