Спряжені оператори в унітарному просторі
Означення 1. Спряженим оператором для оператора [math]\varphi[/math] в унітарному просторі [math]V[/math], називається такий оператор [math]\varphi^{*}[/math], що для будь-яких векторів [math]x[/math] і [math]y[/math] простору [math]V[/math] має місце рівність: [display] (\varphi(x), y) = (x, \varphi^{*}(y)).[/display]
Нехай в деякому ортонормованному базисі [math] \cal B [/math] простору [math] V [/math] оператор [math] \varphi [/math] задано матрицею [math] A = (a_{ij}) [/math]. Знайдемо матрицю [math] A^{*}[/math] спряженого оператора [math] \varphi^{*}[/math]. Нехай вектор [math] x [/math] має координати [math] x_{k}[/math], а вектор y має координати [math] y_{i} [/math] відносно базису [math] \cal B [/math]. Тоді [display] ( A x, y ) = \sum_{i=1}^{n} (\sum_{k=1}^{n} a_{ik}x_{k}) \overline{y_{i}} = \sum_{k=1}^{n} x_{k} (\sum_{i=1}^{n} a_{ik} \overline{y_{i}} = (x, \overline{A^{T}} y),[/display] де [math]\overline{A^{T}}[/math] - транспонована та комплексно-спряжена з матрицею [math]A[/math]. Таким чином, [math]A^{*} = \overline{A^{T}}[/math].
Відзначимо деякі властивості спряженого оператора:
1. [math](\varphi^{*})^{*} = \varphi[/math].
2. [math](\varphi + \psi)^{*} = \varphi^{*} + \psi^{*}[/math].
3. [math](\alpha \varphi)^{*} = \overline{\alpha} \varphi^{*}[/math], де [math]\alpha [/math]- скаляр.
4. [math](\varphi \psi)^{*} = \psi^{*} \varphi^{*}[/math].
5. [math]\cal E^{*} = \cal E [/math]( \cal E [/math]- тотожній оператор ).
6. [math](\varphi^{-1})^{*} = (\varphi^{*})^{-1}[/math], якщо [math]\varphi^{-1}[/math] існує.
Означення 2. Лінійний оператор називається самоспряженим, якщо він збігається з своїм спряженим.
Самоспряжені оператори в унітарному просторі називають ермітовими, а в евклідовому - симетричними.
Матриця [math]A[/math] ермітового оператора в ортонормованому базисі задовольняє умові: [math]A = \overline{A^{T}}[/math].
Матриці, які мають таку властивість, називаються ермітовими.
Матриця спряженого оператора в ортонормованому базисі евклідового простору симетрична.
Тотожний оператор є самоспряженим.
Сумма самоспряжених операторів є самоспряжений оператор.
Добуток самоспряжених операторів є самоспряженим оператором тоді і тільки тоді, коли оператори переставні між собою.
Оператор, обернений до неособливого самоспряженого оператора є самоспряженим оператором.
Теорема 3. Власні числа самоспряженого оператора дійсні.
